■
Com,
Com.
Per7,qaimi
Elcm.
Propofmo 131.13 2.113.8c 154. 5x7
angulus 1 re&us , ergo ortus amplitudo
puniti 1 nota icilicet arcus 1 b, ergo in prx-lenci figura anguius mh b, ergo K h 1, igicur poterimus (laniere angulos vmbra-rum , Se iam poil'umus determinare magni-tudinem; ergo punótumad vnguem vmbrx qualibet hora , Se parte horx lìngulis die-bus in quacunquc regione datx alcitudinis poli veri» , Se reóius. In cylindrica autem eodem modo iicut iivuerla eli enim fpecies vmbrx verfx , nifi quod anatema ob obli-quitatem cylindri melius aptacur, rotundum icilicet cum rotundo.
                                                        Propofìtio cetile firn a trigefnna prima
   Si linex alicui dupla alcerius adiungatur, erit ptoportio duarum ad primam maior, quam dupli, cum prima ad primam cum vna adieila.
   Sit a b linea, cui adieóta fit b c, Se rurfus ad b c c d xqualis b c dico , quod proportio a c ad a b eft maior , quàm a d ad a c. Proportio enim c d ad c a minor eli,quàm ad a b per otlauam quinti Elementorum. Ergo minor d c ad c a quàm c b ad a b, quia b c & c d funt xquales, ideò xqualem habent proportionem ad a              b c d
a b¡igiturconiun- |-----------—\—| — |
gédoper.a8.Quinti proportio d aadacmi-nor > quam c a ad a b , quod erac demon-ftrandum.
   Propofìtio cemejima trigefirn a fcctinda.
   Si ad duas lineai, quarurn vna alteri dupla fit eadem linea addatur, erit aggregati ex minore, Se ad adiedtaad ipfam mino-rem minor proportio quam aggregati ex maiore, Se adie&a ad ipfam maiorem duplicata .
   Sint dux linex ab , Sec d, & fit c d dupla ad a b , addatur communis b e, & voce-tur iun&a c d , d f dico, quod proportio e a ad ab,             e b             a
eft mi-              1-----1-----—---1
nor du- g    f    d                  c
plicata f 1--1----1------------------1
c ad c d , adiiciatur d f xqualis g f, quia ergo g d eft dupla ad f d, ideo ad e b c d antem eft dupla ad a b , tota igitur g c dupla roti e a,quare vtg c ad g d vt c a ad e b permutando , Se per euerfam vt e a ad a b, ita g c ad c d , vt g c ad c d componitur ex g e adfe,&fcadcd, igitur c a ad c b com-
ponitur ex eifdem.Proportio aute g c ad fc eft minor , quam f c ad c d, igitur minor quam duplicata f c ad c d,conllat vero ex eifdem,quod proportio c a ad a b maior eft dupheata g c ad f c.
                                                        Propojitio centefuna trigefirna tertia.
    Si fuerintdux quantitates, quarum vna alteri dupla lit : minuatur a minore qux-dam quantitas eademque maiori addatur, erit minoris ad refiduum maior proportio, quam aggregati ad maiorem duplicata. Si veto minon addatur Sc a maiore detra-hatur,eiit aggregati ad minorem minor proportioquam maiorisad reiiduum dupli-caca.
    Sit a b            c h             d
dupla c d,             | — j— -----------
Sc addatur g a k 1                     b
quxdarn ad| | j | —--------------------
b a , qux fir a g , eadem detrahatur cx c d Se fit ch, dico , quod proportio e d ad cl h maior eft , quam duplicata g b ad a b, Sc rurfus li quxdarn ad c Se minuatur ex a b vt-potccfaddarurcd , Sc a e minuatur ex ab, eric proportio f d ad cd minor duplicata a b ad g e. Primum fic releccntur a n Se k I xquales fingulx ch , igitur a 1 dupla eft e h Se a b fuic dupla a d, c d igitur vc in priore conftitutione prxeedemisabad 1 b , vr c d ad h d 6c a b ad b 1 maior, quam duplicata a b ad b k vc minor quam k b ad b 1, hoc enim demonftratum eft in fine, igitur cd ad h d maior, quam duplicata a k ad k b, fed a k ad k b maior eft per vigefimam ter-tiam , huiusfcilicec per demonftracionem illius, quam g b ad b a, igitur multo maior c d ad d h, quam duplicata g b ad b a,quod eft primum.
    Secundum fic per eadem, ad- *° ~~\ ditoenimduplo f c ipii a b vc in u 'iecunda figura , Se fine a m,& m n entfdadc d,vcn a ad a b qua- o re cum n a ad ab fit minor dupli-^ 1   1
cata perpr^cedencem in badab, u j Se a b ad e b fic maior, vt demo-ftratum eft in vigefima tertia hu- E —-
ius quam m b ad a b,erit fd add     _J
c multo minor duplicata a b ad b e,quod eft fecund urn.
    Propojitio cente/ima trigefima quartet.
   Si reitangula fupetficies fit cuius pars tertia quadrata fit , corpus quod ex latere quadratx in refiduum fuperficiei ccmftac ma-ius eft quouiscorpore ex eadem luperficies aliter diuifa confticuto.
    Sic re&angulum a c cuius tertia pars c e fit quadrata , dico quod corpus, quod cou-ftat ex e d in a b eft maius omni edrpore, quod fuerit ex latere parcis fuperficiei a b in reliquam partem. Si non diuidatur vel fupra vel infra,& primoin f.-erit aute proportio edaddf, vcecadcK,&fa ad a e , vt fuperficierum ipfarum per primam fexti Elementorum : at per prxeedentem maior eft proportio e d ad d f, quam a f ad a e , duplicata igitur maior eft proporuo e d
                                                                                                                                                     ad