40 Liber Vnicus.
                                               Capvt XXXVII.
                                                 De Opera tione proportionum-
1 T)Ropordo eft duarum quandtatum ciuf-1 dem generis inuicem certa ratio vc dixit Euclides:eft autem duplex xqualitatis quae fimplex , Sc inuariabilis Temper eft ve-luti 5. ad 5. He diametri ad diame trum: inxqualitads duo funt genera,rationale,& ¿rationale,dicitur autem proportio rationa-lis, qux numeris deiignari poteft : vt 7. ad 5. at irrationalis qux non poteft : vt diametri ad coftam : irrationalis autem funt'duo genera : maioris, Sc minoris, ma-ioris vt diametri ad coftam, mincris é con-uerfo/unt autem linex de quibus loquitur. Euclides <j.binomia,& totidem refidua, duo binnedialia , Sc duo refidua , linea major j Sc minor , potens in rationale Sc medíale, Sc potens in duo medialia , cumfuis refiduis, quare erunt 22 .Sc medialis, Sc irrationalis in potentia, Sc irrationalis in adu tantum, Sc rational^ , quare omnes erunt z6. linex , de quibus in décimo Elementorum feriptum eft , deinde linea diuifa fecundum proportionem habentem medium Sc duo extrema, igitur cum Tint
  27. linex , qux comparantur fecundum proportionem irrationalem erunt z6. pro-portiones fecundum progreffionem ab vna incipientes , quare per primam regulam 27-capituli, erunt proportiones irrarionalcs 3 5 1. & totidem conuerfx , quare omnes funt 702.
2   Rationalium vero inxqualium duo funt genera maius , Sc minus maius vt 8. ad
  4.  minus econtra vt 4. ad 8. maioris autem fpecies funt quinqué, tres fimplices& dux compofitx , minoris totidem eis op-pofitx , funt igitur maioris fimplices multiplex vt 1 2. ad 4. fuperparticularis vt 12. ad cj.fuperpartiens vt 7. ad 5.his iungunrur multiplex fuperparticularis vt i4.ad 3. his opponuntur fpecies minoris inxqualitatis vt fubmultiplex qux eft 4. ad 12. mul-tiplici , Sc fubparticularis vt 9. ad 12. Sc fubpartiens vt 5. ad 7. Sc ita in omnibus dicitur multiplex cum terminus terminum multotiens continet Sc nihil vltrá: fuperparticularis cum portionem vnam qux eft pars quota conten» veluti 12. continet 9. Sc 3.qui eft tertia pars de 9.6c fuperpartiens cum continet partem qux non eft quota, vt 7.continet.5.& 2.vltra qui non funt pars proportionalis de 5. per idem intellige reli-quos duos modos cum quinqué conuerfis veluti fuperpartiens multiplex, eft cum totum continet partem multotiens , 8c vltra partem non quotam : veluti i4.continet 3. quater , Sc Yltra hoc 2. qui non funt pars quota de 3.
3   Numerado autem'in talibus fit quem-admodum in fradis fuperponendo name-rum numero veluti tripla eft vt 3. ad 1. Sc ideo fie feribitur -7: & ita fubtripla é con-uerfo ,.veluti 1. ad 3 : fic-y : Sc ita fexqui-altera, vt 3.ad t.fic}, (fubfexquialtera vt
CapXXXVII.
2. ad 3 .fie -y: ex his pro operationibus nota quinqué regulas.
   Prima regula in quinqué operationibus 4 qux funt numerado, multiplicado , diuifio, progreífio, Se radicum extradio , tam in ra-tionalibus quam irrationalibus : operado fit quemadmodum in fradis, vnde numerado fiet fie7777 fiue : xqualitatis , dupla, tripla, quadrupla, Se fie deinceps: mtílti-plicatio quadruplx in quintuplam fie — -7 Se ita reliquis , per modum irado-tum.
   Regula fecunda in additione, Se fubtra- 5 dione , diuerfificati funt Audores , nara campanus , Se frater Lucas , credunt addi-tionem eífe multiplicationem, Se diminu-tionem diuifionem , creduntque Euclidem hoc voluiílé , máxime cum dixit quod ovn-nium i uperficierum fimilium,proportio v nius ad alteram, eft compoíita ex proportione laterum fiue duplicata, vnde in textu Grxco In vigefima fexti diplafionapofuit. Alexan-der autem achilinus Se volumnius, Se alij, volunt eflerem diftindam, vterque verum dicit,nam cum comparatx fuerint proportiones tantum, ita vt cadat terminus in medio , tune compofitio non eft nifi multiplicado , cum veró termini proportionis ad terminum comparantur fit addido exemplum, fipropor- a. b. c. tio a ad b Se b ad c inuicem 4. 3. 1.
componuntur tune talis compofitio non eft nifi multiplicado , Se fit proportio quadrupla,fed fi a Se b vterque ad c comparetur tune fit addido Se confurgit proportio feptupla , Se hoc eft quod confe-quitur in rebus naturalibus : nam fi aliquis moueat nauim a proportione tripla per fe, Se fuperueniat tali mouenti alius motor qui per fe moueret nsfuim in quadrupla prc-pordone, tune ambo iundi non in quadrupla cum iam per fe ita moueat , fed in feptupla mouebunt proportione , cum igitur talis modus fit in re, modum inuenireopor-tet in computatione correipondentem , Se hic eft prxcise additio vel diminutio frado-rum,de quibusin fuperioribus, vnde fi volo addere quadruplam triplx fie conftituo, -yX-r |-f: In diminutione -y-y |-f.
   Caufa erroris eft quod Euclides,& Alchin-dusln propofito non afliimuntduas proportiones, (ed tantum vnam continentem duas in virtute duorum terminorum illi vero af-l'umunt tres términos & ita duas proportiones , vnde fuper illo dicebat Alchindus ( omnis extremorum proportio dicitur com-pofita ex ómnibus intermediis , intelligit compofitionem qux eft multiplicado. Euclides autem duplicatam Se triplicatam dixit vnde corredius locutus eft,fed de his nimis.
   Regula tertia omnis proportio marioris 6 inxqualitatis duda in luam conuerfam pro-ducit proportionem xqualitatis igitur di-uisá proportione xqualitatis , exit iemper conuerfa , vt diuifa proportione xqualitatis per fexquitertiam, exit fubfexquitertia.
   Regula ,quarta cum volueris inuenireali- 7 quid in numeris furdis vel denominatis , vel propordonibus, aut operadonem aliquam operare illud in integris cognitis,& faciliter
                                                                                                                 videbis