De Operationibus proportionum. 41
   videbis veritatem exempluin , volo adiun-gere proportionem habentem medium Se duo excrema proportioni habenti medium Se duo extrema , capio -7- Se -7- iungo Se video quod ìunguntur per mulciplicacionem cru-ciacam , Se totum ponitur prò numeratore, deinde duco inuicem denominatores &c quod fic eft deminator , ve hic -f X -f fic -p con-
            Er- ?• m. 1. 32. 5. m. 1.
     *     3-m. J.       3. m.    j.
   ftituto igitur duas Cales proportiones vt di-xi Se fin: ve vides duco igicur per pnteepea capituli 17.&: fiec produétum ve infra.
8     Regala quinta cum in operationibus re-quiritur operatio vel plures fuperflux, tunc
             32. 3 10. m. 16. additio
             14.  m. i(£. 180.
                                                                       Multiplies tio
             6. m. 20.
             14. m. 92. 1 80.
   tantum regrediaris in tequatione quantum proceffifti, veluti volo ducere 92132.7.in radi-cem 13a. 5. reduco ad integra.ducendo bisra-dicem,& fit inoperatione 3 5.igitur bisetiam addenda eft radix fiet igitur 9292.35.
^ In Arithmetics autem proportione, nam de Geometries tantum locutifumus, folum id confert lcire quod ipfa capitur penes excellum , Sc eft triplex squalitatis vt 5.ad 5. maioris inxqualitatis vt 5^3. minoris econuerfo vt3-ad 5-eft etiam irra-tionalis,fed hate raraeft,& difficilis operatio-nis,exemplum tameneft,vt 5.inter 5.m.92.3. & J.p.^.3-& ita accenditur penes excellum, vnde 3. 7. 11. funt in continua proportione Arithmetics , fed de his non pertinet hic pertraitare fed alibi loco fuo,nam hicopera-tiones 7. tantum in fubiedtis Arithmetics: declarantur, inuenitur autem in hismaxime in Geometries fimilitudo proportionum,qux proportionalitas appellatur veluti -f- -f > Eft & tertium genus proportionalitatis muficx fiue proportionis Sc ipfa non inuenitur nifi in tribus terminis vt 6. 3. 2 Sc 6. 4. 3. nam qualis eft proportio extremi ad extremum veluti 6. ad 3 talis eft exceflus primi fupra fe-cundum &eft 2.ad 1. vtrinque dupla inuen-tio illius habetur fex regulis.
*9 Rcgulaprima cu fuerint termini extremi-cognici, lubtrahe minorem a maiore Sc re-fiduum diuideper 1. plus proportione quod exit eft terminus medius , volo inter 20. &
   5.  conftituere medium in proportione quadrupla mufica , lubtraho 5. de 20. fit 15.di-uidoper t. plus quadrupla quod eft 5. exit.
   3.  addo ad 5. fic 8. terminus medius in proportione quadrupla. Et ideo dicemus quod inter duo extrema non cadit alia proportio mufica quam ilia qua: eft fine medio etiam veluti inter 20. Sc 5. non cadit nifi vna proportio mufica Sc eft quadrupla: cuius terminus medius eft 2.
11   ^ t ex hoc in quacunque proportione ha-
     bebimus minimos integros, & eft exem-Tom. / V.
plum vt in feptula femper adde 1. & fie
  8.  quod fi additio fit par vt hic diuide per axjualia Sc exiens videlicet 4. eft term nus minor , due in proportione fit 28. termini s maior, igitur per primam regulam medics eft 7. fum igitur minimi 28.7.4. quodfi nu-merus proportionis cum additione vnitatis eft impar , vt in feculpa fit 7. ducas proportionem in ipfum, Sc fiet terminus maior
42.  & minor ipfe numerus 7. quare per primam regulam medius 12.
   Quod fi maiore Sc medio cognitis velis I1 minorem terminum venari: fi proportio data eft , fufficit maiorem terminum per proportionem diuidcre , quod fit eft terminus minor , vt datis 42. Sc 12. in inueniendafexcu-pla diuide 4 2. per 6. exit 7. terminus minor, fi autem fit ignota proportio deme medium de maiori, vthic fit 30.Sc ponedifFerenciam medij termini a minore, 1. co. igitur medius terminus eft 12. minue r.co. de 12, fit 12. m. 1. co. pro minore termino : cum igitur fit proportio totius ad minorem veluti refidui ad difterentiam igitur duifta differentia minore , Sc eft r. co. in terminum maiorem qui eft 42. fient 42. co. tequales produdlioni differentia: maioris in terminum minorem , fuit differentia maior 30. duifta in terminum minorem fit 360. m. 30. eo. addo ad 42. co. quia minus eft fient 7 2. co. Kquales 360. igitur ipfa co.eft p.detrahe earn ii 12. eric minor terminus 7. vel alicer 30» eft -f de 42. igitur diuide i 2. in duas partes quarumvna fe habeat ad aliam vt e. ad 5. adde minorem maiori perdi&afupertertiam Euclidis fiet vt 12. ad 7. igitur minor terminus eft 7. Sc eft propria ratio , vel aliter Sc facilius adde difterentiam ad terminum maiorem fit 72. due 12. in terminuni maiorem fit 504. diuide per 72. exic 7.
   Ec ex hoc habitis inferioribus terminis. 1} habebis terminum maiorem , cum proportione hoc modo fubtrahe minorem de medio , Sc cum refiduo multiplica terminum medium , quod fit diuide per difterentiam v termini minoris Sc differentia: minoris quod exit adde termino medio, Sc conflabitur maior. Exemplum proponuntur 6. Sc n. termini volo maiorem terminum Sc proportionem : deduce 6. ex 11. fit 5. ducoin 11. Sc detraho ex 6. fit 55. Sc r. diuido 55. per 1. exit 55. irerum : quern addo matori termino fit 66. proportio vndecupla.
   Et nota quo proportio Arithmetica pro-cedit augendo Sc feruatur in terminis pro-portionalibus , Exemplum volo continuare proportionem triplam in quinque terminis, minimi per fecundam regulam funt 2. 3.
6.  due igitur per proportionem vtrumque maiorem fient 9. Sc 18. igitur 2. 3. 6.9.18. erunt proportionates in proportione tripla,
Sc ita continuabis in infinitum augendo fed decrefcendo non.
   Cauiahuius proportionis eft quod opor-tet complicate duas proportiones multiplices femper , & diuerforum generum inter terminum maiorem Sc medium & etiam inter maiorem Sc minorem quia terminus maior eft grauioris vocis , Sc ideo cum illo oporcet acutiores omnes concordare,
                          D 3             SC