La rivelazione dei calcolatori
di Gabriele Lolli
Francesco Berto
TUTTI PAZZI PER GÒDEL!
La guida completa al
Teorema di incompletezza
pp. XVI-271, € 16,
Laterza, Roma-Bari 2008
FRANCESCO BERTO
TUTTI PAZZI
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PER GÒDEL!

Un titolo simile invita gò-
delianamente all'autori-
ferimento, e l'autore non na-
sconde di essere anche lui paz-
zo per Godei. Purtroppo non
è vero, o lo è nel senso pubbli-
citario trasmesso dallo stile
compiacente del titolo: la dice
lunga sulla cultura della nostra ci-
viltà E fatto che si possa urlare di
essere pazzi per una cosa di cui
non si sa nuEa e che
non si capisce, se è ven-
duta bene. La recente
fama mediatica, alimen-
tata dal clamore orga-
nizzato per E centenario
della nascita (1906-
1978), che ha trasfor-
mato Kurt Godei in
un'icona del ventesimo
secolo, è perfettamente
compatibEe con l'in-
comprensione diffusa,
aEa quale si spera che pongano ri-
medio Ebri come questo, e con E
disinteresse degH studiosi che do-
vrebbero essere influenzati dal la-
voro del logico austriaco. Non ba-
sta citare John von Neumann, o
Albert Einstein o Karl Popper che
esaltano la grandezza di Godei per
giustificare l'affermazione che
"questa dimostrazione [ha] cam-
biato la nostra comprensione deEa
matematica e, secondo alcuni, an-
che di noi stessi".
Un matematico e, a tempo par-
ziale, logico inteUigente come
Paul R. Halmos ha dichiarato:
"Certamente, qualunque mate-
matico trova affascinanti e degni
di rispetto i famosi risultati di Go-
dei e di Cohen suH'esistenza ne-
cessaria di proposizioni indecidi-
bih e suE'indipendenza dell'assio-
ma di scelta e deE'ipotesi del con-
tinuo (... Questi) spettacolari teo-
remi (...) E ammiriamo, ma essi
non hanno cambiato E nostro la-
voro, la nostra filosofia, la nostra
vita" (J ioant to be a Mathemati-
cian, Springer, 1985).
Godei non ha fortuna neanche
presso i fisici, nonostante abbia
trovato nuove soluzioni delle
equazioni cosmologiche, per le
quali fu insignito del Premio
Einstein. Subrahmanyan Chan-
drasekhar e James P. Wright lo
hanno liquidato nel 1961 soste-
nendo superficialmente ed erro-
neamente che aveva sbagEato i
calcoli neE'affermare la possibi-
lità di compiere viaggi nel passa-
to lungo una geodetica in un
universo di Godei.
Alcuni fisici esprimono una
confusa preoccupazione che E
fenomeno dell'incompletezza
abbia qualche riferimento nega-
tivo aUa possibEità di una "teoria
del tutto", ben guardandosi dal
risolvere E dubbio con un picco-
lo sforzo di approfondimento
matematico: "Che relazione c'è
tra E teorema di Godei e la pos-
sibEità che riusciamo a formula-
re la teoria deU'universo, in ter-
mini di un numero finito di prin-
cipi? (...) Una teoria fisica è
autoreferenziale, come nel teore-
ma di Godei. Ci si può perciò
aspettare che essa sia o contrad-
dittoria o incompleta" (Stephen
Hawking). Ne parlano orec-
chiando, non diversamente dai
postmodernisti fustigati da Sokal
(Alan Sokal e Jean Bricmont,
Imposture inteHettuaE, Garzanti,
1999; cfr. "L'Indice", 1999, n.
10), per i quaE l'incompletezza è
la fine deEa modernità.
I filosofi, dal canto loro, porta-
no Godei a esempio di come una
capacità di pensiero matematico
possa coesistere con una totale
sprovvedutezza in questioni filo-
sofiche, trovano disdicevole il
disinteresse di Godei per le cor-
renti alla moda in filo-
sofia, come Wittgen-
stein o Quine, lo bofia-
no come uno sprovve-
duto prekantiano
(Burton Dreben e
Warren Goldfarb),
lamentano E suo rozzo
platonismo (Charles
Chihara) e E suo inge-
nuo rivolgersi alla
fenomenologia.
Chi ha fiducia nel
giudizio di von Neumann e di
Einstein deve aHora faticare per
capire che la grandezza di Godei
non è fondata su un fraintendi-
mento pubblicitario. La matema-
tica è cambiata tra Ottocento e
Novecento, per ima rivoluzione
neEa concezione del metodo
assiomatico che è stata anaEzzata,
precisata e definita daHa nuova
logica. Godei ha messo E sigElo
conclusivo, concludendo e chiu-
dendo questa ricerca, e neUo stes-
so tempo ha posto le basi per la
matematica futura impostando la
fondazione della teoria deEa cal-
colabEità effettiva, in una parola
la teoria dei calcolatori. E raro che
si trovino lavori così positivamen-
te ambigui, una specie di Angelus
novus bifronte: come i Principia di
Newton, che usano la vecchia
geometria ma aprono aEa nuova
anaEsi matematica deEa realtà.
Non si possono apprezzare
lavori tanto importanti
senza conoscerli. Questo libro di
Berto si svolge in due parti: nella
prima c'è una presentazione det-
tagliata dei teoremi di incomple-
tezza e della loro dimostrazione.
Nella seconda una valutazione
deUa loro importanza e dei loro
effetti, attraverso alcuni dibattiti
e polemiche susseguenti.
L'autore ammette onestamente
che per seguire l'esposizione
occorre aver assimEato un corso
di logica di medio livello; per sua
buona sorte l'editore non ha
messo l'avvertimento in coperti-
na. Ma anche E fortunato Godei,
Escher, Bach. Un'eterna ghirlan-
da brillante di Douglas R. Hof-
stadter (Adelphi, 1984; cfr. "L'In-
dice", 1984, n. 3) conteneva prati-
camente e tacitamente, che è la
migEor forma di divulgazione, un
piccolo manuale di logica. Berto
trova e riprende da Hofstadter
molte efficaci soluzioni espositive.
Presenta la dimostrazione neEa
forma originale, queEa ispirata al
paradosso del mentitore, non
queEe indicate come possibiE da
Godei e trovate in seguito, ispira-
te agE altri paradossi. L'esposizio-
ne è chiara e piacevole, aHeggerita
da espressioni coUoquiaE in Enea
con la frivolezza del titolo (non
tutte indovinate: non chiamerei
"soprannaturali" i numeri non
standard, perché si confondono
con quelE di Conway).
Per la seconda parte, intitolata
Il mondo dopo Godei, Berto ha
proficuamente usufruito dell'e-
sposizione critica di Torkel
Franzén (Gòdel's Theorem. An
Incomplete Guide to its Use and
Abuse, AK Peters, 2005). GE
argomenti trattati sono innanzi-
tutto le interpretazioni più fan-
tasiose: queEe postmoderniste,
secondo le quali non c'è più la
verità, queEe politiche ("Non
esiste sistema organizzato senza
chiusure", Regis Debray) e reli-
giose (la Bibbia è completa?,
bisogna uscire dal mondo per
capire il mondo). Quindi un
approfondimento è dedicato ai
temi deUa filosofia deEa matema-
tica, del reaEsmo e del problema
di dove ancorare la certezza deEa
matematica. Infine, maggior spa-
zio è giustamente dedicato al
tema deU'inteUigenza artificiale e
al rapporto tra mente e macchine.
Su questo argomento è Eiterve-
nuto lo stesso Godei, trovan-
do come al soEto la formulazione
più corretta e rispettosa deUe
conoscenze disponibEi: "Tutta-
via, se una tale regola [per gene-
rare tutta la matematica] esiste,
noi con la nostra comprensione
umana non potremmo certamen-
te mai riconoscerla come tale, vale
a dire, non potremmo mai sapere
con certezza matematica che tutte
le proposizioni che essa produce
sono corrette (...) Se fosse così,
ciò significherebbe che la mente
umana è equivalente a una mac-
china finita che, tuttavia, è inca-
pace di comprendere completa-
mente E proprio funzionamento.
Questa incapacità dell'essere
umano di comprendere se stesso
gE apparirebbe aUora erronea-
mente come la propria (deEa sua
mente) Elimitatezza o inesauribi-
Età" (Opere. Voi. 3, BoUati Borin-
ghieri, 2006).
Chiude E Ebro una discussione
del caso Wittgenstein, che rifiutò
E teorema, per lo sconcerto dei
suoi ammiratori che credevano
che non lo avesse capito. Lo aveva
capito benissimo, ma esso non era
compatibEe con la sua visione
deUa matematica come un insie-
me di calcoE incomunicanti e
privi di interpretazioni: il teorema
di Godei ha senso solo se E for-
malismo aritmetico ha due inter-
pretazioni, una aritmetica e una
linguistica, quando esso è usato
come metateoria di se stesso.
Berto giustifica le argomentazioni
di Wittgenstein ipotizzando che
possano essere inserite in una
logica paraconsistente. EgE stes-
so, tuttavia, confuta Wittgenstein
quando nel tirare le somme deEa
sua esposizione, neE'ultima pagi-
na, si chiede quale sia E significa-
to deE'incompletezza, e propone
che "possiamo trovare significati
anche dove meno ce l'aspetterem-
mo; ad esempio in un pacchetto
di stringhe di segni che si rivela
capace di introspezione". ■
gabriele.lollìdunito.it
Ad armi pari
di Telmo Pievani
Michele Luzzatto
PREGHIERA DARWINIANA
prefaz. di Giulio Giorello,
pp. 70, €9,
Raffaello Cortina, Milano 2008
Michèle.' Luzzatto
Preuhiei
G. Lolli insegna logica matematica
all'Università di Torino
Il Signore del mondo deve
essere molto più sottEe di
così. Lo scriveva già Charles
Darwin nell'estate del 1838,
in uno dei taccuini giovanili:
"Non è all'altezza della di-
gnità di Colui che si presume
abbia detto 'Sia fatta luce' e
luce fu immaginare che Egli
abbia creato una lunga succes-
sione di vEi animali moUuschi".
Molto più "semplice e sublime"
ipotizzare che Dio
abbia affidato all'ine-
vitabEe svolgersi delle
leggi "prefissate" deEa
"trasmutazione" il
corso deEa storia natu-
rale.
È E "defitto", come lo
definirà in una lettera
del 1844, che il natura-
lista inglese non vorrà
confessare per più di
vent'anni: aver scoperto
i meccanismi di variazione e sele-
zione che rendono conto defi'evo-
luzione deEe specie, l'umana com-
presa, senza dover più ricorrere a
cause finaH e ad architetti celesti.
La teologia naturale, nel suo ten-
tativo di riconoscere empirica-
mente negE adattamenti mgegnosi
degH esseri viventi le "vestigia
deEa creazione", veniva così con-
futata e si apriva un crinale filoso-
fico deficato che da fi in poi sepa-
rerà coloro che vedranno in que-
sta laicizzazione del vivente un'e-
mancipazione irreversibHe deEa
conoscenza umana, ma non una
definitiva dimostrazione della non
esistenza di un'entità sovrannatu-
rale, e chi invece riterrà l'ateismo
l'unica deduzione plausibHe.
GE uni e gE altri faranno i conti
con chi cercherà, ancora
oggi, un secolo e mezzo dopo, di
trovare alternative scientificamen-
te plausibili per disinnescare
l'"idea pericolosa" di Darwin,
reintroducendo surrettiziamente
"piani preordinati" e altre conso-
latorie forme di "razionaEtà supe-
riore" neEa spiegazione.
In questa sua opera prima,
Michele Luzzatto, di formazione
biologo evoluzionista ed editor
di saggistica scientifica, sceghe di
andare dritto al cuore del pro-
blema e di affrontarlo, grazie afie
fibertà concesse da una narrazio-
ne incalzante e ironica, dal punto
di vista di un immaginario dialo-
go "aEa pari" fra Darwin e E
Padreterno. Chi preferirebbe
avere di fronte a sé Dio, un petu-
lante servo devoto oppure E frut-
to glorioso deEa sua creazione,
fiducioso verso i propri mezzi
EiteHettuaH, tanto da spingersi
persino a sfidarlo apertamente?
Non v'è dubbio, un Signore dav-
vero sottile, non E demiurgo
arruffone che vorrebbero alcuni
sostenitori del "disegno inteUi-
gente", scegEerebbe di confron-
tarsi con una creatura libera e
coraggiosa, magari lacerata dal
dubbio come Darwin. In fondo,
E Dio deEa Bibbia scende a patti
con Mosè e con Abramo, sceglie
Giacobbe e Giobbe per lottare
con loro "ad armi pari".
Ai proliferanti nemici dell'im-
presa scientifica Luzzatto rivolge
un monito inaggirabile: è davve-
ro questo il modo giusto di
difendere E vostro credo? Di
fronte aH'awentura emozionan-
te di un essere umano che si
pone domande sul mondo e ne
svela le regolarità nascoste, di
fronte a un uomo che si interro-
ga criticamente sufie conseguen-
ze più profonde delle sue sco-
perte onorando in questo suo
travagfio interiore le facoltà più
nobEi del participio "sapiens"
che abbiamo (forse prematura-
mente) attribuito al
nostro nome di specie,
quale autorità morale
o spirituale dovrem-
mo attribuire a coloro
che scelgono la rimo-
zione e la violenza ver-
bale per sfuggire alla
sfida darwiniana? Di
quali valori morali e
umani sarebbero por-
tatori gli zelanti e
minacciosi adepti che
si scagliano contro la "darwino-
latria" e che paragonano l'evolu-
zionismo alle croci uncinate?
È tempo forse di non accettare
più, suggerisce la laica Preghiera
darwiniana di Luzzatto, gli effetti
perversi deEe povere battagfie di
questi mHitanti deEa fede, pro-
prio come Dio ignora sdegnosa-
mente EHhu, E giovane esaltato
che si scagha contro Giobbe pen-
sando di parlare in nome di Dio
per decidere già su questa Terra
chi è perduto e chi è salvato.
Anche i tre amici di Giobbe, che
cercano con dotte ragioni teolo-
giche di convincerlo a rassegnarsi
aH'ingiusto destino di sofferenza
che lo ha travolto, incassano dal
Signore un rimprovero senza
appeHo: "Io sono adirato con te -
dice a Elifaz E temanita, - e con i
tuoi due compagni, perché non
avete parlato rivolti a me con sin-
cerità, come E Mio servo Giob-
be" (Libro di Giobbe, 42, 7).
Non credete a chi semina
paura sostenendo che dopo
Darwin non c'è più spazio né
per Dio né per i fondamenti
deEa dignità umana, conclude
Luzzatto, perché E Dio in evolu-
zione deEa Bibbia "ha saputo
cambiare idea, convinto in que-
sto dagli esseri umani, che sono
liberi, che talvolta combattono
con lui e oppongono le loro
ragioni, come Giacobbe con la
sua lotta e come Giobbe con le
sue lamentazioni. E Dio sembra
apprezzarii e ripagarli proprio
per questo". Saggezza bibEca
che andrebbe insegnata in tutte
le scuole, sottraendola al mono-
polio pedagogico di una confes-
sione sola e restituendola a un
paese dove la spiritualità schiva,
generosa e riflessiva di tante per-
sone deEe fedi più diverse è oggi
ammutoEta e soverchiata dai cla-
mori dei propagandisti.	H
telmo.pievani@unimib.it
T. Pievani insegna filosofìa della scienza
all'Università Bicocca di Milano