Capitolo XXVII. â 543 della variabile indipendente, corrispondano rispettivamente i valori della funzione. Una volta costruita questa funzione, noi potremo interpolare servendoci di essa, e i valori ottenuti saranno tanto più approssimati, quanto più grande sarà il numero dei valori dati y0, yt, i/2,..., ym della funzione, e sopra tutto quanto più vicini saranno i corrispondenti valori x0, xt, x2:..., xm della variabile indipendente x. Del problema così enunciato, daremo due soluzioni11^: una è dovuta a Lagrange, l'altra a Newton. Si noti fin d'ora, che sotto l' aspetto pratico è più importante la formola proposta da Newton. L'espressione ottenuta da Lagrange è una combinazione lineare dei valori dati y0) yil y2,..., ym, cioè della forma y X0 ya ?M y^ -j- Xa y2 +----+ ?/,⢠+ .... + lm ym, ove X0, X,, X2,..., X(B sono funzioni intere della variabile x. Esse devono soddisfare manifestamente alle condizioni : ir x == xi, (iâ1,2, 3.....>»»)â ; perchè allora, e allora soltanto, ponendo x = x * nell' espressione precedente di «/, si ha y = yÃ7 (i = 0, 1, 2, 3,..., m). La funzione X ; è precisamente : _Jx - xâ) (x - X])... (x - xi-i) (x - xì + ì)... (x - xm) 1 2 m (Xi-X0) (Xi - Xi).., (Xi-Xi-l) (Xi-Xi+l)... (Xi-Xm)'^ ~~ ' ' '"' ' come è facile verificare ; cosicché 1' espressione di y è y (X - xâ) (x - xt)... (x - Xi - 1) (a; - xì + i)... (x - xm) [Xi-X0) (Xi-Xi)... (ai -Xi - l) (Xi-Xi+1)... (Xi-Xm) che è appunto la formola di Lagrange. (1) Veramente la soluzione del problema è unica. Qui ci riferiamo alla forma della soluzione. ì)oi Vi ! 1/21----) !Jm x = ogni altro valore di x distinto da xi e scelto fra i numeri