Capitolo XXVII. —
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della variabile indipendente, corrispondano rispettivamente i valori
della funzione.
Una volta costruita questa funzione, noi potremo interpolare servendoci di essa, e i valori ottenuti saranno tanto più approssimati, quanto più grande sarà il numero dei valori dati y0, yt, i/2,..., ym della funzione, e sopra tutto quanto più vicini saranno i corrispondenti valori x0, xt, x2:..., xm della variabile indipendente x.
Del problema così enunciato, daremo due soluzioni11^: una è dovuta a Lagrange, l'altra a Newton. Si noti fin d'ora, che sotto l' aspetto pratico è più importante la formola proposta da Newton.
L'espressione ottenuta da Lagrange è una combinazione lineare dei valori dati y0) yil y2,..., ym, cioè della forma
y X0 ya ?M y^ -j- Xa y2 +----+ ?/,• + .... + lm ym,
ove X0, X,, X2,..., X(B sono funzioni intere della variabile x. Esse devono soddisfare manifestamente alle condizioni :
ir x == xi, (i—1,2, 3.....>»»)■;
perchè allora, e allora soltanto, ponendo x = x * nell' espressione precedente di «/, si ha y = yÌ7 (i = 0, 1, 2, 3,..., m). La funzione X ; è precisamente :
_Jx - x„) (x - X])... (x - xi-i) (x - xì + ì)... (x - xm)	1 2 m
(Xi-X0) (Xi - Xi).., (Xi-Xi-l) (Xi-Xi+l)... (Xi-Xm)'^ ~~ ' ' '"' '
come è facile verificare ; cosicché 1' espressione di y è
y (X - x„) (x - xt)... (x - Xi - 1) (a; - xì + i)... (x - xm) [Xi-X0) (Xi-Xi)... (ai -Xi - l) (Xi-Xi+1)... (Xi-Xm)
che è appunto la formola di Lagrange.
(1) Veramente la soluzione del problema è unica. Qui ci riferiamo alla forma della soluzione.
ì)oi Vi ! 1/21----) !Jm
x = ogni altro valore di x distinto da xi e scelto fra i numeri