Ipotizzando la differenziabilità delle funzioni f, gP xP a, ck, t, le condizioni del primo ordine implicano:
SU
5X,
-X P
,r d±h " &•'*
                                                                   dX,+* = ,8X, + W SX,
= 0
5t/
SA
rdxj !i Se*
Si'

- dA, k=iòAj
SA, j
= 0
n + m              Ai
                                                                           *7*
V /, = !
* = 1
I PIxh + lck + wI E i',.+ Z f": -s=0
dove:
dxh/dXi e dx/dA. sono i vettori delle derivate parziali di x. e ^ rispettivamente;
SeJ Sx, e Sck/8Aj indicano, a carattere generale, il costo marginale dell’input pubblico relativo ai beni X; e Aj rispettivamente. Poiché nulla può dirsi, in termini generali, del sistema tariffario previsto per acquisire gli input del settore pubblico, il costo marginale può essere in particolare nullo se ck è costante.
   Si ottiene dunque:
—
5X,
s(7
M,
      1 ) ----+ vv —

* =
&Y,
   ~          5c.    Si"-
P ~7~+          +
- Aj     t = 1M,    5Xj
cm,
CtTlj
(8)
   Il rapporto tra le utilità marginali dei due beni X; e A; deve uguagliare il rapporto tra i loro costi marginali, cm/cmr Questi costi marginali sono i prezzi «ombra» dei beni utili, i quali sono misurati dai prezzi degli input di beni e dal prezzo implicito del tempo necessario a produrli.
   In questa formulazione, dunque, l’individuo produce due categorie di beni utili; e tali beni utili vengono prodotti in quantità che massimizzano una funzione di utilità dell’insieme dei beni soggetta unicamente al vincolo del reddito pieno.
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