Cap. XXIII. De
         & 16. quadrato4. fit 46. cubus eiufdem
         4. igitur 4. eft aftimatiorei. Sed fi quadratum b d cum numero rerum fuerit minus cubo b d, erit b c aftimatio rei b c, minor b a, vt fi cubus atqueturq rebus p.47. quia
         16. & 47. faciunt63- minus 64. cubo4. numeri rerum erit b c, minor b a : &c fi quadratum eilet cum numero aquationis rnaius cubo eifet aftimatio rei maior numero rerum. Veluti cub. aquetur 4. rebus
         р. 50. tune aftimatio rei erit b c> maior ba* qui eft 4. numerus rerum.
              Demonstratio.
          Quibus ftantibus proponatur res , 8i bc numerus rerum Sc parallelogrammum a bequantitas ipfatum rerum colledtarum,
         & fint res fub numero b c, puta 34. äquales 1. cub. p-12. Et erit per lemma pra-cedens b c maior b a, item oportet ex de-Ter 10. fta monßratis in libro de Proportionibus, vt cubus terria partis b c fit aqualis , aut maior numero aquationis. Sic ergo numerus aquationis fuperficies d b c e, eritque b d neceilärio numerus : fuperficies ergo a d
         с, eft aqualis cubo a b , Sc quia cubus a b fit ex demonftratis ex cubis d b &c d a> &c
          ttiplo vnius in quadratum alterius , & cu* bus b d eft numerus, quia b d eft nume-merus , ergo diuifo cubo numero, per b c numerum prodibit numerus: fit igitur fuperficies e f aqualis cubo df>, erit igitur fuperficies f g, aqualis triplo b d , in quadratum d a ¿ a d in quadratum d b, &c cubo àd.Exemplum ergo erit( vt dixi)quodd e fit 12. &c b c 34. erit bdf)-, a b autem,vt binomium eft 3. p- 7-& cubusb d“-, tota igitur fuperficies f c eifet 127—7. Pro-pterea vides per eandem rationem, quod diuifa fc per b c , exit f d numerus maior b d. Et rurfus cubus ille componetur ex cu-bis b f, fa, & triplo mutuo diòto, Scita femper cubus fiet minor,& numerus aqua-tionis maior : nam diuifo 127577 per 34. exit—77,& tanta eft b f,cuius cubum opor-teret rurfus addere adfuperficiemb e, Se ita iuxta datam proportionem augetur numerus aquationis 8c cubus minuitur.Oportet igitur in hoc cafu ita diftinguere dicendo, quòd fi per cubum intelligis priorem cubum, feilieet a b ille cumia, numero,& noncum 1 27575, aquatut 34. rebus , licet enim contineat alios números, non funt tarnen de natura numeri aquationis , fed propria pars. Si vero dicasquod aliquis culim. IK
examine,Sic             401
bus p. 127777, qui erit minor cubo a b aquetur 34. rebus? dico quod non , qui* ille cubus erit cubus line* minoris a b, igitur fi 34 a b aquantur cubo minoris linea:, quàm fit a b & 12^7-^portebit tuncquod res tunc fit minor, quae eft latus cubi.igi-tur oportebit quòd fint plures res quàm 34. qua fint aquales cubo p. 127577, & omnia variantur vno variato.
   Rurfus ergo affumatur linea a h, qua fit pars binomi), & h b numerus, tunc cubus h b poterit folus eife numerus j vt cum fi fuerit quantitas abfurda,velut gratia exempli Rt. v.32. 7. p. 132. 3- vel poteritelfe cum cubo a h,cum a h fuerit ^2. cu. numeri,vel cum triplo h b inlquadratum a h, vt in pro-polito polita a h $2.7.nam cubus h b eft 27.
Se triplum h b in quadratum a h eft 6 3. vt totus numerus fit 90. qiiibus additis 12. fic 102-qui eft aqualis 34. numerorerura duòlo in 3. qui eli numerus aftimationis feu binomi). In omni cafu ergo ex his tribus conftat quòd numerus totus eft fuperficies h c. Et quia numerus aquationis aquatur illi, dico quod non poteft effe maior, nam lie pars aquaretur toti, nec aqualis ex de-monftratione habita , nam b h tota^ellèt numerus, ergo cubus eius elice numerus* ergo numerus aquationis h c, cum numerd cubi h b ellèt maior numero , qui conti* netur in rebus, ergo res non pollènt elle sequales numero Se cubo. Quia quantità^ aloga effet aequalis numero , relinquitur igitur, vt numerus xquationis fitneceffa* rio minor, numero qui continetur in rebus. Sit ergo numerus aquatiouis d c , & erit numerus cubi h e neeeffariò : nam hi duo numeri pariter accepti funt neceffa-riò aquales numero contento in rebus, qué fuppofuimus eflè h c. Dico ergo, quod a h non poteft effe R. fimplex , quia non fa-tisfacit per viam binomi) , vtoftenfum lu-prà. Nec poteft rilevi, cu. nam cubus effet C*p.ièl numerus , igitur 34. radices gratia exempli ellènt vnum aggregatum radicum cub. qua aquiualerent vni, & hanc oporteret aquari tripla produòli vnius in quadratum alterius mutuò : at hoc elle non poteft, quo-iijam illa folida funt incommenfa , quia funt in proportioneah adh b,idcft R.cub. ad numerum, qua funt incommenfa inter fe. Relinquitur ergo vt fica h vna quantitas alterius generis, qua duòla viciffim cum h b vna in quadratum alterius, ad-ditóqueillius cubo feiat quantum duòla in
  30. gratia exempli , qui eft numetus rerum.
   At quia in ilio aggregato eft etiam tri* plum quadrati h b in a h , oportebit erge» vt cubus a h cum triplo quadrati a h in h te fit aquale refiduo tripli quadrati h b , &c numeri rerum duòlo in a h : igitur diuifis omnibus per a h,erit vt quadratum a h,cuiri rebus triplo numeri h b, fit aquale numero fimplici, qui eft differentia numeri rerum, &c tripli quadrati h b. Exemplum ponatur h b 2. 8e bc numerus veruni 30. igitur triplum quadrati h b , quod eft 12. àetvaòtum à 30. relinquitur 18. ergo 18. eft squalis 1. quad. p. tripld
                  II y hb,id